Equazioni di Yule-Walker

In statistica per un modello autoregressivo (casuale) valgono le seguenti relazioni, dette equazioni di Yule-Walker:

• ${\displaystyle R_{yy}=-{\sum _{k=1}^{N}a_{k}R_{yy}(n-k) R_{yx}(n)}}$

• ${\displaystyle R_{yx}(n)=\left\{{\begin{matrix}0\,\,\,per\,\,\,n>0\\{\sigma _{n}^{2}}\,\,\,per\,\,\,n=0\,\end{matrix}}\right.}$

In particolare, la matrice ${\displaystyle R}$ dei coefficienti delle equazioni di Yule-Walker è una matrice di Toeplitz; cioè è simmetrica (o hermitiana, nel caso di sequenze complesse) e tutti gli elementi appartenenti alla stessa diagonale, o subdiagonale, sono eguali tra loro. La matrice ${\displaystyle R[N\times N]}$ è pertanto caratterizzata da ${\displaystyle N}$ numeri e può dunque essere rappresentata da:

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}r_{0}&r_{-1}&..&r_{-N}\\r_{1}&r_{0}&..&r_{-N 1}\\r_{2}&r_{1}&..&r_{-N 2}\\..&..&..&..\\r_{N}&r_{N-1}&..&r_{0}\\\end{bmatrix}}}$

Nota: Per ricavare l'elemento m-esimo ${\displaystyle r_{m}}$ si veda la procedura di derivazione sotto esposta.

Derivazione

Considerando un processo AR:

${\displaystyle z_{t}=\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}\,z_{t-i} \alpha _{t}.}$

Moltiplicando entrambi i membri per ${\displaystyle z_{t-m}}$ e, usando l'operatore del valore atteso, si ha:

${\displaystyle E[z_{t}z_{t-m}]=E\left[\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}\,z_{t-i}z_{t-m}\right] E[\alpha _{t}z_{t-m}].}$

Si ha che la funzione di autocovarianza è: ${\displaystyle E[z_{t}z_{t-m}]=r_{m}}$. I valori della funzione del rumore bianco risultano indipendenti tra loro, e ${\displaystyle z_{t-m}}$ risulta indipendente da ${\displaystyle {\alpha _{t}}}$ per m > 0. Se ${\displaystyle m\neq 0\Rightarrow }$ ${\displaystyle E[\alpha _{t}z_{t-m}]=0}$. Per ${\displaystyle m=0}$ si ha:

${\displaystyle E[\alpha _{t}z_{t}]=E\left[\alpha _{t}(\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}\,z_{t-i} \alpha _{t})\right]=\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}\,E[\alpha _{t}\,z_{t-i}] E[\alpha _{t}^{2}]=0 \sigma _{\alpha }^{2},}$

Pertanto, risulta:

${\displaystyle r_{m}=E\left[\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}\,z_{t-i}z_{t-m}\right] \sigma _{\alpha }^{2}\delta _{m}.}$

Poiché:

${\displaystyle E\left[\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}\,z_{t-i}z_{t-m}\right]=\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}\,E[z_{t}z_{t-m i}]}$ = ${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}\,r_{m-i},}$

La risultante equazione di Yule-Walker è:

${\displaystyle r_{m}=\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}r_{m-i} \sigma _{\alpha }^{2}\delta _{m}.}$

Bibliografia

• G. U. Yule, On a method of investigating periodicities in disturbed series, with special reference to wolfer's sunspot numbers, Phil. Trans. Roy. Soc., 226-A:267–298, 1927.
• Rob J Hyndman, Yule-Walker Type Estimates for Continuous Time Autoregressive Models, Dept. of Statistics, University of Melbourne, 1991.
• Helmut Lütkepohl, Introduction to Multiple Time Series Analysis, ISBN 3540569405, Springer, 1993.
• Jack HW Penm, Tim Brailsford, Richard Deane Terrell, The Adjustment of the Yule-Walker Relations in VAR Modeling: The Impact of the Euro on the Hong Kong, Canberra, A.C.T.: School of Finance and Applied Statistics, Australian National University, 2000.

Voci correlate

• George Udny Yule
• Schema di Yule